Question

【題目】已知函數f（x）=ex+.

（I）當a=時，求函數f（x）在x=0處的切線方程；

（II）函數f（x）是否存在零點?若存在，求出零點的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=－3x－l.（2）見解析

【解析】分析：（I）求得函數的導數，得，即可利用直線的點斜式方程得到切線的方程；

（II）由函數的解析式，分類和討論，其中當時，利用導數求解函數的單調性與最值，即可得到函數零點的個數.

詳解：（I）f（x）=ex+，f'（x）=ex－，f' （0）=1－.

當a=時，f'（0）=－3. 又f（0）=－1，則f（x）在x=0處的切線方程為y=－3x－l.

（II）函數f（x）的定義域為（－，a）（a，+）.

當x∈（a，+）時，ex>0，>0，所以f（x）=ex+>0，

即f（x）在區間（a，+∞）上沒有零點.

當x∈（－∞，a）時，f（x）=ex+=，

令g（x）=ex（x－a）+1，只要討論g（x）的零點即可.

g'（x）=ex（x－a+1），g'（a－1）=0.

當x∈（－∞，a－1）時，g'（x）<0，g（x）是減函數；

當x∈（a－1，a）時，g'（x）>0，g（x）是增函數，

所以g（x）在區間（－∞，a）上的最小值為g（a－1）=1－ea－1.

當a=1時，g（a－1）=0，所以x=a－1是f（x）的唯一的零點；

當a<l時，g（a－1）=1－ea－1>0，所以f（x）沒有零點；

當a>l時，g（a－1）=1－ea－1<0. 所以f（x）有兩個零點.