Question

【題目】如圖，已知三棱柱BCF﹣ADE的側面CFED與ABFE都是邊長為1的正方形，M、N兩點分別在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求證：MN∥平面BCF；
（3）若點N為EC的中點，點P為EF上的動點，試求PA+PN的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形CFED與ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE
（2）證法一：過點M作MM1⊥BF交BF于M1 ，
過點N作NN1⊥CF交BF于N1 ， 連結M1N1 ，
∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵，
∴MM1=NN1
∴四邊形MNN1M1為平行四邊形，
∴MN∥N1M1 ， 又MN面BCF，N1M1面BCF，∴MN∥面BCF．
[法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結NG，則，∴NG∥CF
又NG面BCF，CF面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF
∵MN平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）如圖將平面EFCD繞EF旋轉到與ABFE在同一平面內，則當點
A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小，
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN2=AE2+EN2﹣2AEENcos135°，
∴AN=，
即．

【解析】（1）四邊形CFED與ABFE都是正方形，利用線面垂直可得EF⊥平面ADE，再根據EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出結論；
（2）證法一：過點M作MM1⊥BF交BF于M1 ， 過點N作NN1⊥CF交BF于N1 ， 連結M1N1 ， 先證得四邊形MNN1M1為平行四邊形，得MN∥N1M1 ， 再根據線面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連結NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性質得出MN∥面BCF；
（3）將平面EFCD繞EF旋轉到與ABFE在同一平面內，則當點A、P、N在同一直線上時，PA+PN最小．通過解△AEN，利用余弦定理求出AN即可。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．