Question

已知數列，計算S₁，S₂，S₃，根據計算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法給出證明．

Answer 1

解：…（2分）
猜想…（4分）
以下用數學歸納法證明這個猜想
（1）當n=1時，左邊=S₁=，右邊==，猜想成立；
（2）假設n=k時，猜想成立，即，
那么當n=k+1時

∴n=k+1時猜想也成立…（11分）
由（1）（2）可知猜想對任意n∈N^*成立…（12分）
分析：利用數列的前三項，可計算S₁，S₂，S₃，從而可猜想S_n的表達式，利用數學歸納法進行證明，關鍵是第二步假設n=k時，猜想成立，再使用歸納假設，證明n=k+1時，猜想成立．
點評：本題考查數學歸納法的運用，解題的關鍵是利用數學歸納法進行證明，第二步要使用歸納假設．