Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為的菱形， 底面， ，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角

的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接 ，交 于點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連接， ，先根據(jù)三角形中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)可得，再證明平面，從而可得平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果

試題解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連接， ．

因?yàn)?/span>， 分別為， 的中點(diǎn)，

所以，且，

因?yàn)?/span>，且，

所以，且．

所以四邊形為平行四邊形，所以，即．

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以．

因?yàn)?/span>是菱形，所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（2）解法：因?yàn)橹本�與平面所成角為，

所以，所以．

所以 ，故△為等邊三角形．

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則．

以為原點(diǎn)， ， ， 分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

則， ， ， ，

， ， ．

設(shè)平面的法向量為，

則即

則所以．

設(shè)平面的法向量為，

則即令則所以．

設(shè)二面角的大小為，由于為鈍角，

所以．

所以二面角的余弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.