Question

【題目】已知，，若動點滿足：.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，請問在曲線上是否存在點，使得四邊形（為坐標原點）為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，見解析。

【解析】

（1）根據橢圓的定義，由，知動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，然后再求方程.

（2）根據題意，設且，直線AB的方程，與橢圓方程聯立得 ， ，假設存在點使得四邊形（為坐標原點）為平行四邊形，則 ，即，將，代入橢圓方程驗證.

（1）因為，

所以動點的軌跡是以，為焦點的橢圓.

所以 ，

所以動點的軌跡的方程是 .

（2）根據題意，設，且

直線的方程 ，

與橢圓方程聯立得 ，

，

假設存在點使得四邊形（為坐標原點）為平行四邊形，

則 ，

所以，

所以.

即，方程無解，所以不存在.