Question

設實數q滿足|q|＜1,數列{a_n}滿足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n+1=－qⁿ,求a_n表達式，又如果S_2n＜3,求q的取值范圍

Answer 1

－1＜q＜0或0＜q＜

∵a₁·a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,
∴q≠0,a₂=－,
∵a_n·a_n+1=－qⁿ,a_n+1·a_n+2=－qⁿ⁺¹?
兩式相除，得,即a_n+2=q·a_n
于是，a₁=2,a₃=2·q,a₅=2·qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)
綜合①②，猜想通項公式為a_n=
下證：(1)當n=1,2時猜想成立
(2)設n=2k－1時，a_2k－1=2·q^k－1則n=2k+1時，由于a_2k+1=q·a_2k－1?
∴a_2k+1=2·q^k即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
設n=2k時，a_2k=－q^k,則n=2k+2時，由于a_2k+2=q·a_2k?,
所以a_2k+2=－q^k+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
綜上所述，對一切自然數n,猜想都成立.
這樣所求通項公式為a_n=
S_2n=(a₁+a₃…+a_2n－1)+(a₂+a₄+…+a_2n)
=2(1+q+q²+…+q^n-1?)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=
依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜