Question

已知邊長都為1的正方形ABCD與DCFE所在的平面互相垂直，點P，Q分別是線段BC，DE上的動點（包括端點），PQ=

2

．設線段PQ中點的軌跡為l，則l的長度為（　　）

• A、2
• B、

  2

  2

• C、

  π

  2

• D、

  π

  4

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：由題意作出圖形，建立空間直角坐標系，設出P、Q、M的坐標，由中點坐標公式把P、Q的坐標用M的坐標表示，然后利用PQ=

2

列式，求出PQ中點的軌跡為四分之一圓周，則l的長度可求．

解答：解：如圖，

以DA、DC、DE所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設P（m，1，0）（0≤m≤1），Q（0，0，n）（0≤n≤1），M（x，y，z），
則由中點坐標公式得：x=

m

2

，y=

1

2

，z=

n

2

．
∴m=2x，n=2z ①，
∵|PQ|=

m2+n2+1

=

2

，
∴m²+n²=1 ②，
把①代入②得，4x²+4z²=1．
即x2+z2=

1

4

．
∵0≤m≤1，0≤n≤1，
∴0≤x≤

1

2

，0≤y≤

1

2

．
∴PQ中點M的軌跡方程為

x2+z2= 1 4 (0≤x≤ 1 2 ，0≤z≤ 1 2 ) y= 1 2

．
軌跡l為在垂直于y軸的平面內，半徑為

1

2

的四分之一圓周．
∴l的長度為

1

4

×2π×

1

2

=

π

4

．
故選：D．

點評：本題考查了軌跡方程，訓練了利用空間坐標系求解動點的軌跡，體現了參數思想在解題中的應用，考查了學生的空間想象能力，屬難題．