Question

【題目】設向量 =（sinx， cosx）， =（﹣1，1）， =（1，1），其中x∈（0，π]．
（1）若（ + ）∥ ，求實數x的值；
（2）若 = ，求函數sinx的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（sinx， cosx）， =（﹣1，1），

∴ + =（sinx﹣1， cosx+1）；

又 =（1，1），且（ + ）∥ ，

∴（sinx﹣1）﹣（ cosx+1）=0，

化簡得sinx﹣ cosx=2，

即2（ sinx﹣ cosx）=2sin（x﹣ ）=2，

∴sin（x﹣ ）=1；

又x∈[0，π]，

∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴x﹣ = ，

∴x= ；

（2）解： =﹣sinx+ cosx

=2（ cosx﹣ sinx）

=2cos（x+ ）

= ，

∴cos（x+ ）= ；

又x∈[0，π]，

則x+ ∈[ ， ]，

∴x+ ∈[ ， ]，

∴sin（x+ ）= = ；

∴sinx=sin（x+ ﹣ ）=sin（x+ ﹣ ）

=sin（x+ ）cos ﹣cos（x+ ）sin

= × ﹣ ×

= ．

【解析】（1）根據平面向量的坐標運算與共線定理，列出方程求出sinx的值，再根據x的取值范圍求出x的值；（2）根據平面向量數量積的定義和三角恒等變換，利用特殊角的三角函數值，即可求出sinx的值．