Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側棱底面，，點為的中點，作，交于點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析 （3）

【解析】

（1）連接交于,連接,根據中位線定理證明,即可證得平面.

（2）先證平面.又∵平面,則.

（3）建立空間直角坐標系,列出各點的坐標表示,求出平面的法向量為,又因平面,所以為平面的一條法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角的余弦值.

解:（1）證明:連接交于,連接.

因為,分別為,的中點,所以為的中位線

∴,又平面,平面,∴平面

（2）在中,,點為的中點,

∴,則平面.

又∵平面,則.

（3）取中點,連接.

依題意可得為等邊三角形,∴,

又因為底面,,平面

則,

建立以為坐標原點,如圖所示坐標系,則有:

,,,,,,

,,設平面的法向量為,

則,∴

∵平面,所以為平面的一條法向量,且

∴