Question

1．平面直角坐標系中，已知點A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當四邊形PABN的周長最小時，過三點A，P，N的圓的圓心坐標是（　　）

• A． （3，-$\frac{9}{8}$）
• B． （3，-$\frac{7}{8}$）
• C． （5，-$\frac{9}{8}$）
• D． （4，-$\frac{5}{8}$）

Answer 1

分析 根據題意可得PA+BN的最小值為EF，此時，1≤a≤3，且這3個點共線，故有ME、EF的斜率相等，求得a的值，可得A、P、N三點的坐標，則PN、PA的中垂線的交點坐標，即為所求．

解答 解：由于AB、PN的長度為定值，故只要PA+BN最小即可．
由于PA+BN=$\sqrt{{（a-1）}^{2}+9}$+$\sqrt{{（a-3）}^{2}+1}$，表示動點M（a，0）到E（1，3）、F（3，-1）的距離之和，
故PA+BN的最小值為EF，此時，1≤a≤3，且這3個點共線，故有ME、EF的斜率相等，
即$\frac{0-3}{a-1}$=$\frac{0+1}{a-3}$，a=$\frac{5}{2}$，此時，A（1，-2），P（$\frac{5}{2}$，1），N（$\frac{7}{2}$，1）．
此時，PN的中垂線方程為x=3，PA的中垂線方程為y+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{4}$），
這兩條中垂線的交點為（3，-$\frac{9}{8}$），
即為過三點A，P，N的圓的圓心坐標，
故選：A．

點評 本題主要考查兩點間的距離公式，三點共線的性質、圓心的性質，屬于中檔題．