Question

已知雙曲線x²－y²＝2的右焦點為F，過點F的動直線與雙曲線相交于A，B兩點，點C的坐標是(1,0).

(1)證明：·為常數；

(2)若動點M滿足＝＋＋(其中O為坐標原點)，求點M的軌跡方程.

Answer 1

由條件，知F(2,0)，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

(1)當AB與x軸垂直時， 可知點A，B的坐標分別為(2，)，(2，－)，

此時·＝(1，)·(1，－)＝－1.

當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)，

代入x²－y²＝2，有(1－k²)x²＋4k²x－(4k²＋2)＝0.

則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

于是·＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

＝(x₁－1)(x₂－1)＋k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²＋1)x₁x₂－(2k²＋1)(x₁＋x₂)＋4k²＋1

＝－＋4k²＋1

＝(－4k²－2)＋4k²＋1＝－1.

綜上所述，·為常數－1.

(2)設M(x，y)，則＝(x－1，y)，＝(x₁－1，y₁)，＝(x₂－1，y₂)，

＝(－1,0).

由＝＋＋，得

，即.

于是線段AB的中點坐標為(，).

當AB不與x軸垂直時，＝＝，

即y₁－y₂＝(x₁－x₂).

又因為A，B兩點在雙曲線上，所以x－y＝2，x－y＝2，兩式相減，得(x₁－x₂)(x₁＋x₂)＝(y₁－y₂)(y₁＋y₂)，

即(x₁－x₂)(x＋2)＝(y₁－y₂)y.

將y₁－y₂＝(x₁－x₂)代入上式，化簡得x²－y²＝4.

當AB與x軸垂直時，x₁＝x₂＝2，求得M(2,0)，也滿足上述方程.

所以點M的軌跡方程是x²－y²＝4.