Question

已知雙曲線x²﹣y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，動直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．

（1）求k的取值范圍，并求x₂﹣x₁的最小值；

（2）記直線P₁A₁的斜率為k₁，直線P₂A₂的斜率為k₂，那么k₁•k₂是定值嗎？證明你的結論．

Answer 1

考點：

圓與圓錐曲線的綜合．

專題：

綜合題．

分析：

（1）由l與圓相切，知m²=1+k²，由，得（1﹣k²）x²﹣2mkx﹣（m²+1）=0，所以由此能求出k的取值范圍和x₂﹣x₁的最小值．

（2）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（﹣1，0），（1，0），，=．由此能證明k₁•k₂是定值．

解答：

解：（1）∵l與圓相切，∴∴m²=1+k²（2分）

由，得（1﹣k²）x²﹣2mkx﹣（m²+1）=0，∴，∴k²＜1，∴﹣1＜k＜1，故k的取值范圍為（﹣1，1）．（5分）

由于，

∵0≤k²＜1∴當k²=0時，x₂﹣x₁取最小值．（7分）

（2）由已知可得A₁，A₂的坐標分別為（﹣1，0），（1，0），

∴，∴=（10分）

==

==，

由m²﹣k²=1，∴為定值．（14分）

點評：

本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．