Question

（2012•合肥一模）若函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）僅有三個公共點，且其橫坐標分別為α，β，γ（α＜β＜γ），給出下列結論：
①k=-cosγ；②γ∈（0，π）；③γ=tanγ；④sin2γ=

2γ

1+γ2

其中正確的是

①③④

（填上所有正確的序號）

Answer 1

分析：可作出函數f（x）=|sinx|與直線y=kx（k＞0）僅有三個公共點的圖象，利用導數與斜率的坐標公式可分別求得k，進一步分析即可得到答案．

解答：解：函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）僅有三個公共點，其圖象如下：

由圖可知，α=0，

π

2

＜β＜π＜γ＜

3π

2

，可排除②
當π＜x＜

3π

2

，
f（x）=|sinx|=-sinx，
∵直線y=kx（k＞0）與 y=-sinx 相切，
∴k=

-sinγ

γ

，同時，由 y′=-cosx，
∴k=-cosγ，故①正確；
∴-

sinγ

γ

=-cosγ，所以 γ=tanγ，故③正確；
∴由萬能公式可得sin2γ=

2tanγ

1+tan2γ

=

2γ

1+γ2

，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查函數的零點與方程根的關系，考查正弦函數的圖象，考查導數的幾何意義與萬能公式，屬于難題．