Question

（2012•合肥一模）函數f（x）=lnx-ax（a＞0）．
（1）當a=2時，求f（x）的單調區間與極值；
（2）對?x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調區間與極值，先求導數，令導數大于0，解得x的范圍為函數的增區間，令導數小于0，解得x的范圍為函數的減區間．減區間與增區間的分界點為極值點，且當極值點左側導數為正，右側導數為負時，為極大值，當極值點左側導數為負，右側導數為正時，為極小值．
（2）由條件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等價于

lnx

x

的最大值＜a，令h（x）=

lnx

x

（x＞0），用導數求出

lnx

x

-x的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

，令f′（x）=0，得x=

1

2

，如下表

∴f（x）在（0，

1

2

）上是增函數，在（

1

2

，+∞）上是減函數，
∴f（x）極大值=f（

1

2

）=-ln2-1，無極小值．
（2）由條件可得

lnx

x

＜a（x＞0）恒成立，等價于

lnx

x

的最大值＜a，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′（x）=

1-lnx

x2

，
則當x∈（0，e）時，h′（x）＞0，又當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以a＞

1

e

．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，及函數的單調性與導數的關系，其中根據已知條件求出導函數是解答本題的關鍵．