Question

已知復數z=

2+4i

1+i

的實部與虛部分別是等差數列{a_n}的第二項與第一項，若bn=

1

an•an+1

數列{b_n}的前n項和為T_n，則

lim

n→∞

Tn=（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、1

Answer 1

分析：先由復數的運算法則求出a₁和a₂，由此求出a_n，從而得到b_n，再由裂項求和法求出數列{b_n}的前n項和T_n，由此能夠求出

lim

n→∞

Tn．

解答：解：∵z=

2+4i

1+i

=3+i，∴a₁=1，a₂=3，∴公差d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+b₂+…+b_n
=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴

lim

n→∞

Tn=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

．
故選B．

點評：本題考查數列的極限和復數的概念，解題時要注意裂項求和法的合理運用．