Question

在長方體中，為線段中點．

（1）求直線與直線所成的角的余弦值；
（2）若,求二面角的大小；
（3）在棱上是否存在一點,使得平面？若存在，求的長；若不存在,說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）以點為原點,建立空間直角坐標系,寫出各點的坐標,從而可求出和的坐標,因為,所以直線與直線所成的角為，其余弦值；（2）分別求出平面和平面的法向量，求出法向量所成的角，轉化為二面角的平面角；（3）假設在棱上存在一點,使得平面,則，設，則垂直于平面的法向量，從而求出，即存在點，使平面．
試題解析：
（1）以點為原點,分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系,
則 ，
 ,
故即與所成角的余弦值為0 ．
(2) 連接,由長方體,得 ，
,,由(1)知,故平面. 所以是平面的法向量,而,
又，設平面的法向量為,則有,取,可得
則  ，所以二面角是 ．
(3) 假設在棱上存在一點,使得平面,則，設，平面的法向量為則有,取,可得
要使平面,只要 ，
,又平面,
存在點使平面,此時.