Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若，方程有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增．（2）

【解析】

（1）求出函數定義域和導函數，令導數為零，找出臨界值，根據導數的正負，判斷函數的單調性即可；

（2）分離參數，構造函數，利用導數研究該函數的值域以及單調性，從而解決問題.

（1）依題意函數的定義域為，，

令，則 ，故在單調遞增，

又 ，所以當時，， 即，

當時，，即；

故在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）方程化簡可得，

所以方程有兩解等價于方程有兩解，

設，則，

令，由于，

所以在單調遞減，

又，所以當時，， 即

當時，，即；

故在上單調遞增，在上單調遞減．

所以在時取得最大值，

又，，

所以存在，使得

又在上單調遞增，所以當時，；

當時，，即.

因為在上單調遞減，

且當時，，.

所以方程有兩解只須滿足，

解得：

所以方程有兩個不同的實數解時，

實數的取值范圍是.