Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓： 和圓： .

（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；

（2）設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)相互垂直的直線和，它們分別與圓和相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為或；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)橹本�過點(diǎn),故可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓截得的弦長(zhǎng)為根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理,我們可以求出弦心距, 即圓心到直線的距離,得到一個(gè)關(guān)于直線斜率的方程, 解方程求出值, 代入即得直線的方程；（2）與（1）相同，我們可以設(shè)出過點(diǎn)的直線與的點(diǎn)斜式方程,由于兩直線斜率為,且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等,故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率的方程,解方程求出值,代入即得直線與的方程．

試題解析：（1）由于直線與圓不相交；

∴直線的斜率存在，設(shè)方程為： ，

圓的圓心到直線的距離為，∵被截得的弦長(zhǎng)為，

∴從而即，

∴直線的方程為：

（2）設(shè)點(diǎn)滿足條件，

由題意分析可得直線的斜率均存在且不為0，

不妨設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為： ，

∵和的半徑相等，及直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，

∴的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，

即，

整理得，

∴，

即或，

因的取值有無窮多個(gè)，所以或，

解得或這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)或點(diǎn)．