Question

【題目】已知二次函數 f (x) = x 2 + x，若不等式 f (－x) + f (x)≤2 | x | 的解集為C. （1）求集合C （2）若方程 f (a x)－a x + 1 = 5（a > 0，a≠1）在 C上有解，求實數 a 的取值范圍； （3）記 f (x) 在C 上的值域為 A，若 g(x) = x 3－3tx + ，x∈[0,1] 的值域為B，且 A B，求實數 t 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）[－1,1]（2）0 < a≤或 a≥5（3）

【解析】試題分析：（1）根據絕對值定義將不等式化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集（2）將方程轉化為關于二次方程，根據底與1的大小分類討論方程有解的條件，結合零點存在定理實數 a 的取值范圍；（3）先利用導數研究函數g(x)單調性，確定其值域，再根據A B，利用數軸列條件，求實數 t 的取值范圍.

試題解析：解：(1) f (x) + f (－x) = 2x 2

當 x≥0時，2x 2≤2x 0≤x≤1

當 x < 0時， 2x 2≤－2x －1≤x < 0

∴集合 C = [－1,1]

(2) f (a x)－a x + 1－5 = 0 (a x) 2－(a－1)a x－5 = 0，令 a x = u

則方程為 h(u) = u 2－(a－1)u－5 = 0 h(0) = －5

當 a > 1時，u∈[,a]，h(u) = 0 在 [,a] 上有解，

則 a≥5

當 0 < a < 1時，u∈[a,]，h(u) = 0 在 [a,]上有解，

則 0 < a≤

∴當 0 < a≤或 a≥5時，方程在C上有解，且有唯一解。

(3) A = [－,2]

∵，∴ .

①當 t≤0時，函數 g(x) = x 3－3tx +在 x∈[0,1]單調遞增，

∴函數 g(x)的值域 B =[,]，

∵ A B ，∴，

②當t≥1時，令，得函數 g(x)的單調遞減區間為： ，

∵

∴函數 g(x)在區間 [0,1]單調遞減， B = []

∴

③當 0 < t < 1 時，同理可得：

函數 g(x)的單調遞減區間為： ；g(x)的單調遞增區間為：[,1].

g(x)在 x =達到最小值。

要使 A B，則

∵0 < t < 1，所以使得 A B的 t無解。

綜上所述：t的取值范圍是：