Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的最小正周期為2 π，最小值為﹣2，且當x= 時，函數取得最大值4． （I）求函數 f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）若當x∈[ ， ]時，方程f（x）=m+1有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）因為f（x）的最小正周期為2π， 得ω= =1，
又 ，解得
由題意， +φ=2kπ+ （k∈Z），
即φ=2kπ﹣ （k∈Z），因為|φ|＜ ，
所以，φ=﹣
所以f（x）=3sin（x﹣ ）+1
（Ⅱ）當2kπ ≤x﹣ ≤2kπ （k∈Z），
即x∈[2kπ ，2kπ ]（k∈Z）時，函數f（x）單調遞增
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化為m=3sin（x﹣ ）
因為x∈[ ， ]，所以x﹣ ∈[﹣ ， ]，
由正弦函數圖象可知，實數m的取值范圍是[﹣ ，3]
【解析】（I）由最小正周期可求ω，又 ，解得 ，由題意， +φ=2kπ+ （k∈Z），|φ|＜ ，可解得φ，即可求得函數 f（x）的解析式； （Ⅱ）由2kπ ≤x﹣ ≤2kπ （k∈Z）可求得函數f（x）的單調遞增區間；（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化為m=3sin（x﹣ ），由x∈[ ， ]，由正弦函數圖象可解得實數m的取值范圍．