Question

如圖，橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點為F₁，F₂，上頂點為A，離心率為，點P為第一象限內橢圓上的一點，若S△PF₁A∶S△PF₁F₂＝2∶1，則直線PF₁的斜率為________．

Answer 1

因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，即a＝2c，則A(0，b)，F₂(c,0)，
設直線PF₁的斜率為k(k>0)，則直線PF₁的方程為y＝k(x＋c)，因為S△PF₁A∶S△PF₁F₂＝2∶1，即S△PF₁A＝2S△PF₁F₂，即·|PF₁|·＝2×·|PF₁|·，所以|kc－b|＝4|kc|，解得b＝－3kc(舍去)或5kc，又a²＝b²＋c²，即a²＝25k²c²＋c²，所以4c²＝25k²c²＋c²，解得k²＝，所以k＝.