【題目】如圖，四棱錐
的底面是直角梯形，
，
，
和
是兩個邊長為2的正三角形，
，
為
的中點，
為
的中點.
（1）證明：
平面
.
（2）在線段
上是否存在一點
，使直線
與平面所成角的正弦值為
？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）當
時，直線
與平面
所成角的正弦值為
.
【解析】
（1）設
為
的中點，連接
，
，證明OE為三角形BPF的中位線，得
即可證明（2）證明
平面
，由
，過
分別作
，
的平行線，分別以它們作為
軸，以
為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面
的法向量，假設線段
上存在一點
，設
，得
，由直線
與平面所成角的正弦值為
列
的方程求解即可
（1）證明：設為的中點，連接，，則
.
∵，
，
，
∴四邊形
為正方形.
∵為
的中點，∴為
，的交點，
∴為的中點，即OE為三角形BPF的中位線
∴.
∵
平面
，
平面，
∴
平面.
（2）∵
，為的中點，
∴
.∵
，∴
，
∴
，
.
在
中，
，∴
.
又∵
，∴平面.
又因為，所以過分別作，的平行線，分別以它們作為軸，
以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
.
假設線段上存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為.
設，則
，
即
.
設平面的一個法向量為
，則
，即
.
取
，得平面的一個法向量為
.
設直線與平面所成角為
，令
，
得
，
化簡并整理得
，解得
（舍去），或
.
所以，當
時，直線與平面所成角的正弦值為.
快樂暑假暑假能力自測中西書局系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】商品的銷售價格與銷售量密切相關，為更精準地為商品確定最終售價，商家對商品A按以下單價進行試售，得到如下數據：
單價x（元） | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
銷量y（件） | 60 | 58 | 55 | 53 | 49 |
（1）求銷量y關于x的線性回歸方程；
（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每件商品A的成本是10元，為了獲得最大利潤，商品A的單價應定為多少元？（結果保留整數）
（附：
，
．（15×60+16×58+17×55+18×53+19×49＝4648，152+162+172+182+192＝1455）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了提高利潤，從2012年至2018年每年對生產環節的改進進行投資，投資金額與年利潤增長的數據如下表：
年 份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
投資金額（萬元） | 4.5 | 5.0 | 5.5 | 6.0 | 6.5 | 7.0 | 7.5 |
年利潤增長（萬元） | 6.0 | 7.0 | 7.4 | 8.1 | 8.9 | 9.6 | 11.1 |
（1）請用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程；如果2019年該公司計劃對生產環節的改進的投資金額是8萬元，估計該公司在該年的年利潤增長是多少？（結果保留2位小數）
（2）現從2012—2018年這7年中抽取2年進行調查，記
=年利潤增長－投資金額，求這兩年都是>2（萬元）的概率.
參考公式：回歸方程
中， 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在
上的偶函數
，滿足
，且在區間
上是增函數，
①函數的一個周期為4；
②直線
是函數圖象的一條對稱軸；
③函數在
上單調遞增，在
上單調遞減；
④函數在
內有25個零點；
其中正確的命題序號是_____（注：把你認為正確的命題序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ＝1，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝8cosθ．
（1）求直線l與曲線C的直角坐標方程；
（2）設點M（0，1），直線l與曲線C交于不同的兩點P，Q，求|MP|+|MQ|的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中， 
， 
平面
， 
.
(1)設點
為
的中點，求證： 
平面
；
(2)線段
上是否存在一點
，使得直線
與平面
所成的角
的正弦值為
？若存在，試確定點
的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數列，若a1=1，Sn為數列{an}的前n項和，則
的最小值為（ ）
A.4B.3C.
D.2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某競賽的題庫系統有60%的自然科學類題目，40%的文化生活類題目(假設題庫中的題目總數非常大)，參賽者需從題庫中抽取3個題目作答，有兩種抽取方法：方法一是直接從題庫中隨機抽取3個題目；方法二是先在題庫中按照題目類型用分層抽樣的方法抽取10個題目作為樣本，再從這10個題目中任意抽取3個題目．
(1)兩種方法抽取的3個題目中，恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目的概率是否相同?若相同，說明理由；若不同，分別計算出兩種抽取方法對應的概率．
(2)已知某參賽者抽取的3個題目恰好有1個自然科學類題目和2個文化生活類題目，且該參賽者答對自然科學類題目的概率為
，答對文化生活類題目的概率為
．設該參賽者答對的題目數為X，求X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD
，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，BC＝CD
AD＝1，E為PA的中點．
（1）求證：EB∥平面PCD；
（2）求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值．
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