Question

設數列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

Answer 1

（1），；（2）當且僅當或時等號成立.

試題分析：(1)已知 與 的關系式求出首項和通項，通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由（1）得到，分析第1,2項可得后要證的問題等價于本題是通過利用對稱項的關系來證明的，該對稱項是通過對的范圍的討論得到的. 通過累加后得到，然后不等式的兩邊同時加上即可得到答案.
試題解析：⑴ ………①,
當時代入①,得,解得;
由①得,兩式相減得(),故,故為公比為2的等比數列,
故(對也滿足);
⑵當或時,顯然,等號成立.
設,且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:
 
即證:
當時,上面不等式的等號成立.
當時,與,()同為負;
當時,   與,()同為正;
因此當且時,總有 ()()>0,即
,().
上面不等式對從1到求和得,;
由此得 ;
綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.