Question

【題目】已知數(shù)列中，，設(shè)．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）10.

【解析】

（1）將數(shù)列的遞推公式變形，可得an+1-1＝2（an-1），即可得到結(jié)論；（2）先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；利用分組求和，求前n項(xiàng)和,通過(guò)不等式可得n的最值.

（1）證明：∵an+1＝2an﹣1（n∈N*），∴an+1﹣1＝2（an﹣1），a1＝3，

∴{an-1}是以a1﹣1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

即數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（2）由（1）知，an﹣1＝2n，∴an＝2n+1；

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝+n＝2n+1﹣2+n．

Sn＞2019，可得，

滿(mǎn)足Sn＞2019的n的最小值n＝10．