Question

已知定義在R上的函數對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）若f（1）=-2，解不等式f（3x+4）＞-4．

Answer 1

分析：（1）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可；
（2）根據f（1）=-2，則-4=f（2），將不等式等價轉化為f（3x+4）＞f（2），再利用函數的單調性即可解得不等式的解集．

解答：解：（1）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是單調遞增函數．
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=-2，
∴-4=（-2）+（-2）=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2），
∴不等式f（3x+4）＞-4等價轉化為f（3x+4）＞f（2），
根據（1）中證明可知，f（x）在R上是單調遞增函數，
∴3x+4＞2，解得，x＞-

2

3

，
∴不等式f（3x+4）＞-4的解集為{x|x＞-

2

3

}．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，考查了利用單調性解不等式問題．此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中尋找到證明問題的關鍵點出來．屬于中檔題．