Question

【題目】已知：如圖，兩同心圓： 和. 為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交小圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線（垂足為），再過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.

（1）當(dāng)點(diǎn)在大圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求垂足的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的直線交垂足的軌跡于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與軸相切，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為： .

【解析】試題分析：（1）設(shè)垂足，則，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入圓方程可得點(diǎn)Q的方程。（2）設(shè)的方程為， ，則由弦長(zhǎng)公式，又由圓與軸相切得，將直線方程代入橢圓方程消元后得，根據(jù)以上各式可解得，可求得直線方程。

試題解析：

（1）設(shè)垂足，則

因?yàn)?/span>在上，

所以，

所以

故垂足的軌跡方程為

（2）設(shè)直線的方程為，

則有，

又因?yàn)閳A與軸相切，

所以

即（*）

由消去x整理得，

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩點(diǎn)，

所以，解得。

又

將上式代入（*）式中得，

解得。滿足。

故所求的直線的方程為，

即