Question

【題目】已知函數 的圖象過點P（0，2），且在點M（－1， ）處的切線方程 。
（1）求函數 的解析式；
（2）求函數 與 的圖像有三個交點，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）由 的圖象經過點P(0,2)，知d=2。

所以 ，則

由在 處的切線方程是 知 ，即 。所以3-2b+c=6,-1+b-c+2=1解得b=c=-3。

故所求的解析式是 。

（2）因為函數g(x)與 的圖像有三個交點

所以 有三個根

即 有三個根

令 ，則 的圖像與y=a圖像有三個交點。

接下來求 的極大值與極小值（表略）。 的極大值為 的極小值為2

因此

【解析】分析：（1）將點P(0,2)代入函數解析式可得d的值，將 代入直線 可得 的值，再由切線方程可知切線的斜率為6，由導數的幾何意義可知即 ，解由 和 組成的方程組可得b,c的值。（2）可將問題轉化為 有三個不等的實根問題，將 整理變形可得 ，令 ，則 的圖像與y=a圖像有三個交點。然后對函數 求導，令導數等于0求其根。討論導數的符號，導數正得增區間，導數負得減區間，根據函數的單調性得函數的極值，數形結合分析可得出a的取值范圍。