Question

( 本小題滿分12分)

已知集合中的元素都是正整數，且，對任意的且，有．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）對于，試給出一個滿足條件的集合。

Answer 1

本小題考察對數學概念的閱讀理解能力，考查不等式、集合知識的綜合應用，考查運用學過的數學知識解決問題的能力，考查思維能力、論證能力、運算能力和綜合解題的能力．滿分12分．

〖解析〗

(Ⅰ) 證明：依題意有，又，

　　　　      因此．

　　　　      可得．

　　　　      所以．

　　　　      即．                    …………………4分

（Ⅱ）證明：由(Ⅰ)可得．

　　               又，可得，因此．

　　             同理，可知．

　　             又，可得，

　　             所以均成立．

　　             當時，取，則，

　　             可知．

　　             又當時，．

　　             所以．   ……………………………………………………8分

（Ⅲ）解：對于任意，，

由可知，

，即．

因此，只需對，成立即可．

因為；；；，

因此可設；；；；．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

所以滿足條件的一個集合．……………12分