Question

在一個特定時段內，以點E為中心的7n mile以內海域被設為警戒水域.點E正北55n mile處有一個雷達觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40 n mile的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東 (其中，)且與點A相距10n mile的位置C．

（I）求該船的行駛速度（單位：n mile /h）;
（II）若該船不改變航行方向繼續行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.

Answer 1

（I）船的行駛速度為（海里/小時）.（II）船會進入警戒水域.

試題分析：(I)根據同角三角函數的基本關系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，從而可求出船的行駛速度.
(II)判斷船是否會進入警戒水域，關鍵是看點E到直線l的距離與半徑7的關系，因而可求出直線l的方程，以及E點坐標，然后再根據點到直線的距離公式得到結論.
（I）如圖，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）.
（II）解法一  如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，

設點B、C的坐標分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC與x軸的交點為D.
由題設有，x₁=y₁= AB=40,
x₂=ACcos,
y₂=ACsin
所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會進入警戒水域.
解法二: 如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
從而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.
過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船會進入警戒水域.
點評：掌握正余弦定理及能解決的三角形類型是解三角形的前提.第（II）問關鍵是知道如何判斷船是否會進入警戒水域,實質是直線與圓的位置關系的判斷.