Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結，交于點，連結.由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點，又為中點，所以為中位線，所以 ∥所以 ∥平面
（Ⅱ）（Ⅲ）為線段中點

解析試題分析：（Ⅰ）證明：根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結，交于點，連結.由 是直三棱柱，
得四邊形為矩形，為的中點.
又為中點，所以為中位線，所以 ∥，    2分
因為 平面，平面，
所以 ∥平面.            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標系.                          5分

，則.
所以 ， 
設平面的法向量為，則有
所以  取，得.            6分
易知平面的法向量為.
由二面角是銳角，得 .
所以二面角的余弦值為.          8分
（Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點.
因為在線段上，，，故可設，其中.
所以 ，.               9分
因為與成角         10分
所以，解得，舍去.
所以當點為線段中點時，與成角.  &n