Question

【題目】已知冪函數f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上單調遞增，g（x）＝x2﹣4x+t．

（1）求實數m的值；

（2）當x∈[1，9]時，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若命題p是命題q的充分不必要條件，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m＝1．（2）[﹣42，5]．

【解析】

（1）根據冪函數f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上單調遞增，則有3m2﹣2m＝1，且m0求解即可.

（2）由（1）可得：f（x）．利用冪函數的性質求其值域， g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4，利用二次函數的性質求其值域，根據p是命題q的充分不必要條件，利用集合法求解.

（1）因為函數f（x）是冪函數

∴3m2﹣2m＝1，

解得m＝1或m＝

又因為f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上單調遞增，

所以m0．

綜上：m＝1．

（2）由（1）可得：f（x）．

當x∈[1，9]時，f（x）的值域為：[1，3]．即A＝ [1，3]

g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4．

可知：x＝2時，函數g（x）取得最小值，g（2）＝t﹣4．

又g（1）＝t﹣3，g（9）＝t+45＞t﹣3，

∴x＝9時函數g（x）取得最大值．

∴B＝[t﹣4，t+45]．

設命題p：x∈A，命題q：x∈B，若命題p是命題q的充分不必要條件，

則，且等號不能同時成立．

∴﹣42≤t≤5．

∴實數t的取值范圍是[﹣42，5]．