Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，過右焦點F的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，設出橢圓方程，根據長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）求出斜率為1的直線l的方程，與橢圓方程聯立，求出交點的縱坐標，即可求△POQ的面積．

解答：解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．----------------（1分）
∵長軸長為2

2

，離心率e=

2

2

，
∴b=c=1 ， a=

2

．
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．----------------（6分）
（Ⅱ）∵直線l過橢圓右焦點F（1，0），且斜率為1，
∴直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 

x2+2y2=2 y=x-1

，得3y²+2y-1=0，
解得 y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．---------------（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．