Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，由此能夠求出a，b，c的值，從而得到所求橢圓方程．
（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x-1．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設條件得y1=-1，y2=

1

3

．由此入手可求出S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．
（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．由題意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知0＜m＜

1

2

．

解答：解：（1）由已知，橢圓方程可設為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．（1分）
∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，
∴b=c=1 ， a=

2

．
所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．（4分）
（2）右焦點F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=x-1

得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．（9分）
（3）假設在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．

MP

=(x1-m， y1)，

MQ

=(x2-m， y2)，

PQ

=(x2-x1， y2-y1)．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

?(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0?（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0?（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0?(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0?2k²-（2+4k²）m=0?m=

k2

1+2k2

(k≠0)．
∴0＜m＜

1

2

．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．