Question

已知橢圓的中心在坐標原點，且經過點M(1，

2 5

5

)，N(-2，

5

5

)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點A（x，y）為圓C上的一點．
（1）求橢圓的標準方程和圓的標準方程；
（2）求

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|（O為坐標原點）的取值范圍；
（3）求x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的標準方程為mx²+ny²=1，依題意可得

m+ 4 5 n=1 4m+ 1 5 n=1

，由此能求出橢圓的標準方程和圓的標準方程．
（2）由圓心C（1，2），知x²+y²=4x-3，所以

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|=2x+1，而（x-2）²+y²=1，則1≤x≤3，由此能求出

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|的取值范圍．
（3）x²+y²表示圓上點P（x，y）與坐標原點O的距離的平方，因為原點O到圓心C（2，0）的距離為2，圓的半徑為1，由此能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為mx²+ny²=1，依題意可得

m+ 4 5 n=1 4m+ 1 5 n=1

，可得m=

1

5

，n=1，
所以，所求橢圓的標準方程為

x2

5

+y2=1．（3分）
因為圓的圓心C和橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰為橢圓的短半軸長，
故圓的標準方程為（x-2）²+y²=1．（5分）
（2）由（1）得圓心C（1，2），所以，而x²+y²-4x+3=0，則x^+y2=4x-3，
所以

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|=2x+1，（7分）
而（x-2）²+y²=1，則（x-2）²≤1，即-1≤x-2≤1，即1≤x≤3，
因此，從而

AC

•

AO

+2|

AC

-

AO

|（O為坐標原點）的取值范圍為[3，7]．（10分）
（3）x²+y²表示圓上點P（x，y）與坐標原點O的距離的平方，因為原點O到圓心C（2，0）的距離為2，
圓的半徑為1，所以P（x，y）與坐標原點O的距離的最小值為2-1=1，
與坐標原點O的距離的最大值為2+1=3，故x²+y²的最大值為9，最小值1．（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．