Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n能取到最大值，且滿足：a₉+3a₁₁＜0，a₁₀?a₁₁＜0，對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論：
①數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列；    
②數(shù)列{S_n}是遞減數(shù)列；
③數(shù)列{S_n}的最大項(xiàng)是S₁₀； 
④數(shù)列{S_n}的最小的正數(shù)是S₁₉．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

分析：由前n項(xiàng)和S_n有最大值，可得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，故①正確；設(shè)等差數(shù)列數(shù)列{a_n}的公差為d，可得2a₁+19d＜0，可得a₁₀+a₁₁＜0，結(jié)合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；又可得-9d＜a₁＜-

19

2

d．令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，解不等式組可得19≤n≤19，∴n=19，故④正確；由二次函數(shù)的性質(zhì)可得②錯(cuò)誤．

解答：解：由前n項(xiàng)和S_n有最大值，可得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，故①正確；
設(shè)等差數(shù)列數(shù)列{a_n}的公差為d，則有a₉+3a₁₁=4a₁+38d＜0，
化簡可得2a₁+19d＜0，可得a₁＜-

19

2

d，
變形可得（a₁+9d）+（a₁+10d）=a₁₀+a₁₁＜0，
結(jié)合a₁₀•a₁₁＜0，可得a₁₀＞0，a₁₁＜0，故③正確；
又可得a₁₀ =a₁+9d＞0，a₁₁=a₁+10d＜0，故-9d＜a₁＜-10d．
綜上可得-9d＜a₁＜-

19

2

d．
令 S_n＞0，且 S_n+1≤0，可得na₁+

n(n-1)

2

d＞0，且 （n+1）a₁+

n(n+1)

2

d≤0．
化簡可得 a₁+

n-1

2

d＞0，且a₁+

n

2

d≤0．
即 n＜-

2a1

d

+1，且 n≥-

2a1

d

．
再由-9d＜a₁＜-

19

2

d，可得 18＜-

2a1

d

＜19，
∴19≤n≤19，
∴n=19，故④正確；
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得②錯(cuò)誤
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，屬中檔題．