Question

已知函數，，其中的函數圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關系；    （2）若，試討論函數的單調性；
（3）設斜率為的直線與函數的圖象交于兩點（）證明：.

Answer 1

（1）；（2）當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．（3）詳見解析。

解析試題分析：（1）由導數的幾何意義可知，即可得與的關系。（2）先求導數，及其零點，判斷導數符號，即可得原函數增減變化，注意分類討論。（3）由可得。然后分別證明不等式的左右兩側，兩側不等式的證明均需構造函數，再利用函數的單調性證明。
試題解析：解：（1）依題意得，則
由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴                                              4分
（2）由（1）得
∵函數的定義域為 
①當時，
由得，由得，
即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
②當時，令得或，
若，即時，由得或，由得，
即函數在，上單調遞增，在單調遞減；
若，即時，由得或，由得，即函數在，上單調遞增，在單調遞減；
若，即時，在上恒有，即函數在上單調遞增.  
綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，
當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．
9分
（3）依題意得