Question

【題目】定義在（0，+∞）上的函數f（x），如果對任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x），（k≥2，k∈N+）成立，則稱f（x）為k階縮放函數．
（1）已知函數f（x）為二階縮放函數，且當x∈（1，2]時，f（x）=1+ x，求f（2 ）的值；
（2）已知函數f（x）為二階縮放函數，且當x∈（1，2]時，f（x）= ，求證：函數y=f（x）﹣x在（1，+∞）上無零點；
（3）已知函數f（x）為k階縮放函數，且當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1），求f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ∈（1，2]得，f（ ）=1+1+ =

由題中條件得f（2 ）=2f（ ）=2× =1

（2）解：當x∈（2i，2i+1]（i=0，1，2）時， ∈（1，2]，依題意可得：f（x）=2f（ ）=22f（ ）=…=2if（ ）=2i =

方程f（x）﹣x=0 =xx=0或x=2i，0與2i均不屬于（2i，2i+1]（（i=0，1，2））當x∈（2i，2i+1]（（i=0，1，2））時，方程f（x）﹣x=0無實數解．

注意到（1，+∞）=（20，21]∪（21，22]∪（22，23）∪…，所以函數y=f（x）﹣x在（1，+∞）上無零點

（3）解：當x∈（kj，kj+1]，j∈Z時，有 ∈（1，k]，依題意可得：f（x）=kf（ ）=k2f（ ）=…=kjf（ ）

當x∈（1，k]時，f（x）的取值范圍是[0，1）

所以當x∈（kj，kj+1]，j∈Z時，f（x）的取值范圍是[0，kj）．

由于（0，kn+1]=（kn，kn+1]∪（kn﹣1，kn]∪…∪（k0，k]∪（k﹣1，k0]∪

所以函數f（x）在（0，kn+1]（n∈N）上的取值范圍是：[0，kn）∪[0，kn﹣1）∪…∪[0，k0）∪[0，k﹣1）∪…=[0，kn）

【解析】（1）根據二階縮放函數的定義，直接代入進行求值即可；（2）根據函數零點的定義和性質判斷函數y=f（x）﹣x在（1，+∞）上無零點；（3）根據k階縮放函數成立的條件建立條件關系即可求出結論．