Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）證明：對任意正整數n，

an+2

an

=2；并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意正整數n，有3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，求實數λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．再寫一式，兩式相除可證對任意正整數n，

an+2

an

=2；從而可知數列的偶數項、奇數項分別成等比數列，故可用分段函數形式表示數列{a_n}的通項公式；
（2）由題意可得?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，從而可表示3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，利用分離參數法，借助于函數的最值，可求參數的范圍．

解答：解：（1）由?n∈N^*，a_na_n+1=2ⁿ，a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，知?n∈N*，

an+2

an

=2．…（3分）
故數列{a_2k-1}，{a_2k}都是公比為2的等比數列，…（4分）∵a₁=1，a₁a₂=2，∴a₂=2．…（5分）
知：?k∈N^*，a_2k-1=a₁×2^k-1=2^k-1，a_2k=a₂×2^k-1=2^k．…（6分）
所以數列{a_n}的通項公式為an=

2k-1，n=2k-1 2k，n=2k

，k∈N*．…（7分）
或an=

( 2 )n-1，n為正偶數 ( 2 )n， n為正奇數

  
（2）?k∈N^*，a_2k-1+a_2k=3×2^k-1，…（8分）
則?n∈N*，S2n=

n

k=1

(a2k-1+a2k)=

n

k=1

(3×2k-1)=3(2n-1)．…（10分）?n∈N^*，3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，等價于?n∈N^*，λ≥

1

2n

-2n+1…（11分）
設f(n)=

1

2n

-2n+1，則f(n+1)-f(n)=-2n-

1

2n+1

＜0，
故f(n)max=f(1)=-

1

2

，λ≥-

1

2

．…（13分）
所以實數λ的最小值為-

1

2

．…（14分）

點評：本題的考點是數列與不等式的綜合，主要考查等比數列的概念，考查分離參數法解決恒成立問題，關鍵是求出數列的通項．