Question

【題目】已知菱形中，對角線與相交于一點， ，將沿著折起得，連接.

（1）求證：平面平面；

（2）若點在平面上的投影恰好是的重心，求直線與底面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）只需證明， ， ， 平面，
即可得平面平面平面；
（Ⅱ）設在平面上的投影為，即平面，過點作交于點，過點作于點，連結，并過作于點，即可證得是與底面所成的角，進而求解.

試題解析：

（1）因為， ， ，所以平面，又因為平面，所以平面平面；

（2）方法一：設在平面上的投影為，即平面，

過點作交于點，過點作于點，

連結，并過作于點，

因為平面，即，且有，

，所以平面，即，

又因為，且，故平面，

從而知是與底面所成的角，

設，則在中有， ，所以，故與底面所成角的正弦值為，即與底面所成角的正弦值為.

（2）方法二：如圖建系，

令，則知， ， ， ，

即，平面的法向量為，

故與底面所成角的正弦值為.