Question

【題目】選修4﹣4：坐標系與參數方程．
極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，已知曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ，曲線C2的參數方程為 （t為參數，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+ ，θ=φ﹣ 與曲線C1交于（不包括極點O）三點A、B、C．
（1）求證：|OB|+|OC|= |OA|；
（2）當φ= 時，B，C兩點在曲線C2上，求m與α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+ ），|OC|=4cos（φ﹣ ），

則|OB|+|OC|=4cos（φ+ ）+4cos（φ﹣ ）=2 （cosφ﹣sinφ）+2 （cosφ+sinφ）=4 cosφ，

= |OA|．

（2）解：當φ= 時，B，C兩點的極坐標分別為（2， ），（2 ，﹣ ）．

化為直角坐標為B（1， ），C（3，﹣ ）．

C2是經過點（m，0），傾斜角為α的直線，

又經過點B，C的直線方程為y=﹣ （x﹣2），故直線的斜率為﹣ ，

所以m=2，α= ．

【解析】（1）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+ ），|OC|=4cos（φ﹣ ），利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為4 cosφ，= |OA|，命題得證．（2）當φ= 時，B，C兩點的極坐標分別為（2， ），（2 ，﹣ ）．再把它們化為直角坐標，根據C2是經過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經過點B，C的直線方程為y=﹣ （x﹣2），由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．
【考點精析】通過靈活運用圓的參數方程，掌握圓的參數方程可表示為即可以解答此題．