Question

8．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₁的極坐標方程為ρ=1，曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數）．
（1）求曲線C₁上的點到曲線C₂的距離的最小值；
（2）把曲線C₁上的各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標擴大原來的$\sqrt{3}$倍，得到曲線C₁′，設P（-1，1），曲線C₂與C₁′交于A，B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數的極坐標方程求出函數的普通方程即可，根據參數方程消去參數求出C₂的普通方程即可，求出點到直線的距離即可；
（2）求出${{C}_{1}}^{′}$的方程，聯立方程組，求出|PA|+|PB|的值即可．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ=1，
故C₁為：x²+y²=1，圓心是（0，0）半徑是1，
曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數），
故C₂：y=x+2，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故C₁上的點到C₂的最小距離是$\sqrt{2}$-1；
（2）伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
故${{C}_{1}}^{′}$：$\frac{{{x}^{′}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}^{′}}^{2}}{3}$=1，
將C₂和${{C}_{1}}^{′}$聯立，得7t²+2$\sqrt{2}$t-10=0，
∵t₁t₂＜0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查了參數方程、極坐標方程以及普通方程的值，考查點到直線的距離公式以及坐標的伸縮變換，是一道中檔題．