Question

下列命題：
（1）若函數f（x）=lg（x+），為奇函數，則a=1；
（2）函數f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知，其中θ∈（π，），則
（4）在△ABC中，=a，=b，若a•b＜0，則△ABC是鈍角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：，λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心．
以上命題為真命題的是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）若函數f（x）=lg（x+）為奇函數，則f（0）=0，則此能求出a的值；
（2）由正弦函數的圖象知函數能求出f（x）的周期；
（3）寫出兩個向量的數量積，運用同角三角函數的基本關系式整理即可得到結論；
（4）在△ABC中，=，=，•＜0，則∠BAC是銳角，由此無法判斷△ABC一定是鈍角三角形；
（5）把給出等式中的角的正弦值用對應邊長和外接圓半徑表示，移向整理后得=2Rλ（+），由此式可知直線AP一定通過△ABC的內心．
解答：解：若函數f（x）=lg（x+）為奇函數，
則f（0）=lg（0+）=lg=0，解得a=1，故（1）成立；
由正弦函數的圖象知函數f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；
∵，其中θ∈（π，），
∴=sinθ+=sinθ-sinθ=0，
∴，故（3）成立；
在△ABC中，=，=，•＜0，
則∠BAC是銳角，△ABC不一定是鈍角三角形，故（4）不成立；
如圖，

在△ABC中，由==2R（R為三角形ABC外接圓半徑），
所以sinC=，sinB=，
所以=+λ（+）=+λ（+）=+2Rλ（+），
即=2Rλ（+），
所以直線AP一定通過△ABC的內心．故（5）正確．
故答案為：（1）（2）（3）（5）．
點評：本題考查了命題的真假的判斷與運用，是中檔題．解題時要認真審題，注意奇函數、向量的數量積、三角函數、正弦定理等知識點的合理運用．