Question

（2011•遂寧二模）設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數，使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數，現給出下列命題：
①函數f(x)=(

1

2

)x為R上的1高調函數；
②函數f （x）=sin 2x為R上的高調函數；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，+∞）；
④如果定義域為R的函教f （x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是[一1，1]．
其中正確的命題是

②③④

 （寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①函數f(x)=(

1

2

)x為R上的遞減函數；
②由正弦函數知函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
③易知f（-1）=f（1），故得m≥1-（-1），即m≥2；
④定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，畫出函數圖象，可得4≥3a²-（-a²），
從而可得結論

解答：解：對于①，∵函數f(x)=(

1

2

)x為R上的遞減函數，故①不正確，
②∵sin2（x+π）≥sin2x，∴函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，故②正確，
③如果定義域為[1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，∵f（-1）=f（1），∴m≥1-（-1），∴m≥2，故③正確，
④f（x）=|x-a²|-a²的圖象如圖，∴4≥3a²-（-a²），∴-1≤a≤1，故④正確．
故答案為：②③④

點評：本題考查基本初等函數的性質，考查學生的閱讀能力，應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，是一個新定義問題，注意對于條件中所給的一個新的概念，要注意理解．