Question

【題目】（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面ABCD 是平行四邊形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD， ⊥， ⊥， ， 分別是， 的中點，連結．求證：

（1）∥平面；

（2）⊥平面．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）證明線面平行，關鍵證明線線平行，這可根據三角形中位線性質得到：在△中，因為， 分別是， 的中點，所以∥．再根據線面平行判定定理進行證明（2）證明線面垂直，需多次利用線線垂直與線面垂直相互轉化：先根據面面垂直性質定理轉化為線面垂直：由平面PBD⊥平面ABCD，得⊥平面．從而⊥．又因為⊥，所以可得⊥平面．從而⊥．又因為⊥， ∥，所以⊥．從而可證⊥平面．

試題解析：證明：（1）連結AC，

因為ABCD 是平行四邊形，所以O為的中點． 2分

在△中，因為， 分別是， 的中點，

所以∥． 4分

因為平面， 平面，

所以∥平面． 6分

（2）連結．因為是的中點，PB=PD，

所以PO⊥BD．

又因為平面PBD⊥平面ABCD，平面 平

面= ， 平面

所以⊥平面．

從而⊥． 8分

又因為⊥， , 平面， 平面，

所以⊥平面．

因為平面，所以⊥． 10分

因為⊥， ∥，所以⊥． 12分

又因為平面， 平面， ,

所以⊥平面． 14分