Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）若在區間上的最大值為，求的值；

（3）若，有不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數，在上是減函數；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)先求函數的定義域，再求函數的導數，解不等式與可求函數的單調遞減區間與單調遞增區間；（2）因為，，分與分別討論函數的單調性求其最值即可；（3）時恒成立等價于，令，求函數的導數，研究在單調性，求其最小值，由求這即可.

試題解析： （1）易知定義域為，

，令，得，

當時，；當時，，

所以在上是增函數，在上是減函數．

（2）因為，，，

①若，則，從而在上是增函數，

∴，不合題意；

②若，則由，即，若，在上是增函數，由①知不合題意，

由，即．

從而在上是增函數，在上為減函數，

∴，

令，所以，因為，所以所求的．

（3）因為時恒成立，所以，

令，∴恒大于0，所以在為增函數，

∴，∴．