Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若和在區(qū)間上具有時間的單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，且函數(shù)的最小值為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為,在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,所以,且單調(diào)遞增,比較與端點的大小關(guān)系,即時,,不合題意；即時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞減,所以解得；（2）,令,通過參變分離構(gòu)造新函數(shù),可判斷出在時,,所以的單調(diào)性與的正負(fù)有關(guān),因此在單減,單增,所以,通過求導(dǎo)可求得最小值.

試題解析：解：（1），

∵在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，不合題意

當(dāng)時，由，得，由，得，

∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

∵和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，

∴，解得，

綜上，的取值范圍是

（2），

由得到，設(shè)，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

從而在上遞減，在上遞增，∴

當(dāng)時，，即，

在上，遞減；

在上，遞增，∴，

設(shè)，

在上遞減，∴，

∴的最小值為0．