Question

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

m

=(2a-c，cosC)，

n

=(b，cosB)，且

m

∥

n

（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求

a+c

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過向量的平行，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)，求出角B的余弦值，即可求出B的大小；
（Ⅱ）通過正弦定理化簡(jiǎn)

a+c

b

的表達(dá)式，通過A的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求解表達(dá)式的取值范圍即可．

解答：解：（I）

m

∥

n

，（2a-c）cosB=bcosC-------（2分）
由正弦定理（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．--------------（4分）
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π），B=

π

3

----------------------（6分）
（II）由正弦定理

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

2 3

3

(sinA+sinC)
=

2 3

3

(sinA+sin(

2π

3

-A))=

2 3

3

(sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA)=2sin(A+

π

6

)--------------（7分）
∴

a+c

b

=2sin(A+

π

6

)--------------------（9分）
A∈(0，

2π

3

)，A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)------------（10分）
∴

a+c

b

∈(1，2]------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．