Question

已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（Ⅱ）設

BA

•

BC

=

3

2

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，又a，b，c成等比數列，根據等比數列的性質及正弦定理化簡得到一個關系式，然后把所求的式子利用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將得到的關系式和sinB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）根據平面向量的數量積得運算法則及cosB的值化簡

BA

•

BC

=

3

2

，即可得到ac的值，進而得到b²的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b²和ac及cosB的值，即可得到a+c的值．

解答：解：（Ⅰ）由cosB=

3

4

，得sinB=

1-( 3 4 )2

=

7

4

，
由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC．
于是

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4

7

7

．（6分）
（Ⅱ）由

BA

•

BC

=

3

2

得ca•cosB=

3

2

，由cosB=

3

4

，可得ca=2，即b2=2．
由余弦定理：b²=a²+c²-2ac•cosB，又b²=ac=2，cosB=

3

4

，
得a²+c²=b²+2ac•cosB=2+4×

3

4

=5，
則（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．（12分）

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，靈活運用余弦定理及等比數列的性質化簡求值，是一道中檔題．