Question

已知△ABC中，內角A，B，C對邊分別為a，b，c，a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

（1）求△ABC的面積；
（2）求sin（B-A）的值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數的平方關系求出sinC，再利用三角形面積公式加以計算，可得△ABC的面積；
（2）先利用余弦定理，求出c邊的長，再根據正弦定理分別算出sinA=

1

3

、sinB=

3

3

，進而算出cosA、cosB之值，最后利用兩角差的正弦公式加以計算，即可得到sin（B-A）的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，cosC=-

3

3

＜0，
∴C為鈍角，sinC=

1-cos2C

=

6

3

．
又∵a=1， b=

3

，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×1×

3

×

6

3

=

2

2

．
（2）∵a=1， b=

3

， cosC=-

3

3

，
∴由余弦定理，得c=

a2+b2-2abcosC

=

1+3-2×1× 3 ×(- 3 3 )

=

6

．
根據正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

6

6 3

=3，
∴sinA=

1

3

a=

1

3

，sinB=

1

3

b=

3

3

∵A、B是銳角，∴cosA=

1-sin2A

=

2 2

3

，cosB=

1-sin2B

=

6

3

．
由此可得sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA=

3

3

×

2 2

3

-

1

3

×

6

3

=

6

9

．

點評：本題主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的運用以及運用三角公式進行三角變換的能力和利用三角形面積公式求面積，考查公式的熟練運用和計算能力，屬于中檔題．