Question

（2009•紅橋區(qū)二模）在△ABC中a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，bcosC，acosA，ccosB成等差數(shù)列，a=

3

，b+c=3，求：
（Ⅰ）角A；
（Ⅱ）△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理可得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)可得cosA=

1

2

，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得；
（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b²+c²-2bccosA，代入數(shù)據(jù)可得bc=2，而S=

1

2

bcsinA=，計(jì)算可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即sin2A=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosA-sinA=0，
∴sinA（2cosA-1）=0，而sinA≠0，
∴cosA=

1

2

，又A∈（0，π）
∴A=

π

3

（Ⅱ）由余弦定理可得(

3

)2=b²+c²-2bccosA，
即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
解之可得bc=2，
故△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及正余弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，屬中檔題．